 |
Пьер Ферма
1601-1665
Метод максимумов и минимумов. Определение касательных
Не позднее 1629 года Ферма открыл методы нахождения экстремумов и касательных, которые, с современной точки зрения, сводятся к отысканию производной. В конце 1636 года законченное изложение метода было передано Мерсенну и с ним могли познакомиться все желающие. Он сообщил о своем методе и в письме к Декарту (1638 год). Для нахождения экстремума многочлена F(x) Ферма предлагает следующее правило:
1) подставить в F(x) вместо х выражение x+h,
2) «приравнять в смысле Диофанта» (этот оборот Ферма не разъясняет) F(x) и F(x + h):
.
3) после приведения подобных членов сократить на h,
4) положить h = 0. В результате получится равенство А(х)= 0. Ферма утверждает, что все значения л:, при которых y = F(x) имеет максимум или минимум, заведомо являются корнями А(х). Сама функция А(х), которая получается по правилу Ферма чисто алгебраически (т. е. без предельного перехода), теперь называется производной от F(x) и обозначается F'(x).
Вот один из примеров Ферма: пусть надо разбить отрезок а на такие две части х и а — х, чтобы произведение х2(а — х) принимало максимальное значение - этот максимум был найден еще Архимедом (III век до н. э.).
Берем F(x + h) = (x + h)2(a - x - h).
Приравниваем x2(a - x) = x2(a - x) + h(2ax - 3x2) + h2(a - 3h) + h3.
После приведения подобных членов и сокращения на h получаем 2ax - 3x2 + h(a - 3x) + h2 = 0.
Полагая h = 0, имеем 2ах — Зx2 = 0, откуда x1 = 0 и х2 = 2/3 a.
Как же Ферма обосновывал свое правило? Почему данный им «рецепт» всегда приводит к цели? Сам Ферма предложил несколько различных обоснований. Приведем одно из них в несколько модернизованном виде. Пусть многочлен F(x) достигает максимума в точке x0. Это значит, что при небольших h (предполагаем, что h › 0) F(x0 + h) ‹ F(x) и F(x0 - h) ‹ F(x) или, располагая члены F(x0 ± h) по степеням h, получаем систему:
F(x0) + hA(x0) + h2B(x0) + ... + hnQ(x0) ‹ F(x0),
F(x0) - hA(x0) + h2B(x0) - ... ± hnQ(x0) ‹ F(x0),
отсюда
А(x0) + hВ(x0) + ... + hn-1Q(x0) ‹ 0,
- А(x0) + hВ(x0) + ... ± hn-1Q(x0) ‹ 0,
Но при малых h знак суммы будет зависеть только от A(x0). Тогда из первого неравенства следует, что A(x0) ‹ или = 0, а из второго A(x0) › или = 0. Итак, необходимо, чтобы А (x0) = 0.
Ферма дал также общий метод для определения того, будет ли точка X, в которой А(х) = 0, точкой максимума, минимума или точкой перегиба функции y = F(x). Метод был основан на рассмотрении второй производной. Заметим, что все методы Ферма были вполне строгими. После него математики отбросили требование строгости и перешли к некритическому оперированию с бесконечно малыми величинами, определить которые они не умели. Строгие методы в математическом анализе появились вновь только в начале прошлого века в работах Гаусса, Коши и Больцано.
Замечательно, что Ферма понял, что этот же метод лежит в основе нахождения касательных к кривым линиям. Он дал метод нахождения касательных, основанный на том же принципе, что и его метод экстремумов. Теперь в основе обоих методов лежит нахождение производной, которая для многочленов автоматически получается в методе Ферма.
Дальнейший успех методов определения «площадей», с одной стороны, и «методов касательных и экстремумов», с другой, состоял в установлении взаимной связи этих методов. Есть указания на то, что Ферма уже видел эту связь, знал, что «задачи на площади» и «задачи на касательные» являются взаимно обратными. Но он нигде не развил свое открытие сколько-нибудь подробно. Поэтому честь его по праву приписывается Барроу, Ньютону и Лейбницу, которым это открытие и позволило создать дифференциальное и интегральное исчисления.
По материалам книги
"Замечательные ученые"
под ред. С.П. Капицы
© Все права сохранены. Initeh.ru