www.initeh.ru

главная
контакты

 

Паскаль
1623—1662

«Опыт о конических сечениях» (1639)

В кружке Мерсенна юный Паскаль проявил себя как наиболее активный и творчески мыслящий ученый. Он тонко чувствовал далекие перспективы новых и необычных идей и умел оригинальным образом развивать их. В те годы талантливый математик, превосходный архитектор и инженер-практик Жерар Дезарг разрабатывал новые универсальные методы в геометрии, применение которых привело к созданию проективной геометрии. Дезарг изложил свои взгляды в «Черновом наброске подхода к явлениям при встречах конуса с плоскостью», который мало кем был понят и оценен из современников.

Лишь один математик XVII в. сумел по достоинству оценить перспективы новой геометрии - этим математиком был юный Блез Паскаль, который в 16 лет написал «Опыт о конических сечениях», маленький математический шедевр в 53 строчки, вошедший в золотой фонд математики. Сочинение Паскаля было напечатано в количестве пятидесяти экземпляров на одной стороне листа (с указанием лишь инициалов автора) в виде афиши, которую можно расклеивать прямо на улице, что нередко практикуется отдельными учеными, в том числе, как уже говорилось, самим Дезаргом. (В настоящее время осталось лишь два экземпляра: один хранится в национальной библиотеке Франции, а другой — в королевской библиотеке Ганновера, среди бумаг Лейбница.)

Трактат включает в себя три определения, три леммы, несколько теорем (без доказательств) и наименования глав предполагаемого обширного труда по коническим сечениям. Паскаль здесь отдает дань признательности своему учителю, называя Дезарга одним из великих умов своего времени, одним из лучших математиков и знатоков теории конических сечений. «Я хочу заявить, — пишет Паскаль, — что немногим мной найденным в этих вопросах я обязан его сочинениям и что я старался, насколько это было возможно, подражать его методу». Тем не менее небольшой трактат Паскаля вполне самостоятелен и оригинален. Паскаль в своем «Опыте...» дает формулировку одной из основных теорем проективной геометрии, которую восхищенный Дезарг назвал «великой Паскалевой теоремой»:
три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в коническое сечение, лежат на одной прямой.

Согласно третьей лемме, во всяком шестиугольнике (его автор трактата называет «мистическим шестивершинником»), вписанном в эллипс, гиперболу или параболу, точки пересечения трех пар противоположных сторон лежат на одной прямой, называемой теперь прямой Паскаля.

Шестиугольник Паскаля / www.initeh.ru

Если шесть произвольных точек конического сечения принять за вершины шестиугольника и занумеровать их, то противоположные стороны данного шестиугольника (1, 2) и (4, 5); (2, 3) и (5, 6); (3, 4) и (6, 1) пересекутся соответственно в точках Р, Q, R, которые лежат на одной прямой — прямой Паскаля.

По словам Мерсенна, Блез вывел из своей фундаментальной теоремы около четырехсот различных следствий. Вот одно из самых простых, но и самых важных следствий:

Коническое сечение Паскаля / www.initeh.ru

«Коническое сечение однозначно определяется любыми своими пятью точками. Действительно, пусть 1, 2, 3, 4, 5 — точки конического сечения и m — произвольная прямая, проходящая через (5). Тогда на m существует единственная точка (6) конического сечения, отличная от (5). В обозначениях теоремы Паскаля точка Р является точкой пересечения (1, 2) и (4, 5), Q — точка пересечения (2, 3) и m, R — точка пересечения (3, 4) и (Р, Q), a тогда (6) определится как точка пересечения (I, R) и m».

Французский исследователь научного творчества Паскаля П. Умберт писал: «Открыв Евклида с помощью кружочков и палочек, Паскаль с помощью шестиугольников вновь создавал Аполлония».

«Опыт о конических сечениях» прославил имя Паскаля среди ученых, вызвал большой резонанс в кружке Мерсенна и снискал одобрение многих маститых математиков, познакомившихся с этой работой. Открытие Паскаля вызвал бурю восторга в кругу парижских математиков, признававших, что Блез Паскаль разрешил ряд вопросов лучше Аполлония. Мерсенн повсюду заявлял, что Паскаль-сын положил на лопатки всех, кто когда-либо занимался исследуемым предметом. Но на фоне всеобщего одобрения и восхищения выделяется сильный голос Декарта, упорно не желающий признавать свершившегося факта и сомневавшегося в способностях 16-летнего юноши.

В «Адресе Парижской математической академии» (так неофициально назывался кружок Мерсенна) в 1654 г. Паскаль уведомил ученых о подготовленных им многих научных трудах, среди которых назван и «Полный труд о конических сечениях». С последним в Париже в 1676 г. познакомился Лейбниц и очень советовал срочно его опубликовать, о чем и написал в письме Этьену Перье, племяннику Паскаля. Но работа так и не была опубликована, а позже она была утеряна. Лишь незначительная часть ее сохранилась благодаря копии, сделанной тогда Лейбницем, преклонявшимся перед гением Паскаля. Между тем это сочинение содержало ряд таких решений и теорем, которые обгоняли развитие математической науки на 100—150 лет. [an error occurred while processing this directive]

предыдущая / главная /  следующая страница

© Все права сохранены. Initeh.ru